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Comparaison asymptotique. Méthode pour juxtaposer deux fonctions mathématiques ou informatiques selon l’agrandissement relatif d’une variable ou variables multiples de chaque fonction respectivement. Elle est devenue la méthode de facto pour évaluer la véracité des algorithmes de logiciel comme si l’efficience ou la vitesse pourraient être appliqués en pleine transparence de ses mesures, sans écart conceptuel dans l’histoire de la mathématique.

Voici, la comparaison asymptotique dans un coup d’œil, où nous remarquons la notation peut être employé dans une façon indicielle, notant que le bon rendement de la machine se diminue avec le passage de l’échelle logarithmique en l’échelle factorielle. Au fond il y a quatre échelles, bien que toutes autres émergent du discours théorique mathématique et la théorie de nombres, qui s’explique comment l’informatique se sert cette comparaison — sans maintenant une main du chirurgien-historien inséré dans ses complexités. Sans doute, pour plus éclaircissement, notons les échelles de bon rendement en premier, qui est l’échelle logarithmique, et de suite, l’arithmétique, la géométrique, la factorielle.

Soit deux fonctions, f(x) et g(x). Ces deux fonctions, comme boîtes noires, produisent simplement une sortie, on peut dire peut-être z, qui varie entre le z de fonction f et de fonction g. Ces deux sorties peuvent donc être mises en comparaison. En ce moment, la fonction plus efficiente est connue, c’est-à-dire la fonction de valeur inférieure. En chercher les contenus de ces boîtes comme si elles sont tout à coup des boîtes blanches, les formations dedans d’équations indiquent leur proximité à une limite mathématique. Par exemple, log 2 n dedans de la fonction f(x) est susceptible à posséder un z de sortie qui est petit, alors :

f(x) = log 2 n \ x

en comparaison avec :

g(x) = 15x + 7

une plus grande valeur de z pour chaque itération de la fonction en résulte. De façon nominale si les contenues de ces fonctions comprennent un signe des échelles géométriques et factorielles, on a leurs résultats respectifs, f(x) en comparaison d’un g(x) qui s’agrandit selon l’échelle géométrique soit :

g(x) = x3 + 15x + 7

ou de l’échelle factorielle, par exemple :

g(x) = x! (x3) + 15x + 7

leur degré d’agrandissement signifié par l’ordre des échelons et le terme le plus important, selon comparaison asymptotique : (log 2 n) et puis, 15x, x3, et x!.

La comparaison asymptotique est devenue une mesure transparente de valeur dans cette manière-ci : si on considère chaque échelle d’être seulement un opérateur de quantité, qu’en ce moment dont l’opérateur s’applique, il y a un agrandissement ou réduction de la somme qui représente le degré auquel l’algorithme n’est pas vite. C’est simplement supérieur ou inférieur tout en mesure quantitative. La plus près que la quantité est d’infinité (ou une limite inverse de zéro), la fonction est plus lente. Bien sûr, les algorithmes particuliers possèdent réellement des valeurs particulières de leur comparaison, mais c’est possible à donner une idée de vitesse tout simplement en indiquant la valeur avec ces quatre échelles. Votre fonction, est-elle vite ? Alors, c’est possible que sa comparaison s’effectue selon l’échelle logarithmique. Votre fonction, n’est-elle pas vite ? Alors, peut-être sa comparaison est donnée par l’échelle factorielle. En addition, les tables que Godfrey Hardy a demandé pour son appendice de son Orders of Infinity démontrent que les produits de l’opérateur logarithmique sont plus petits que tous les autres. Aussi facilement que les données réelles de l’ordinateur de Hardy sont convaincants, ainsi que la comparaison asymptotique achevait sa transparence, avec les nombres indiciels qui réduisent l’histoire de la mathématique et ses détails à un emploi purement nominal.

C’est vrai, Donald Knuth comprenait comme impératif, une notation commune pour l’informatique, dès son article, Big Omicron and Big Omega and Big Theta (1976). Il approprie un système de la théorie de nombres qui appartient presque au règne de la mathématique pure, mais pour but dans la mesure des fonctions sur les machines réelles, c’est-à-dire dans l’informatique. Knuth a demandé la réintroduction après Landau des variations sur le O de « Big O notation » (qui dénote la comparaison de fonctions en progression vers zéro) pour articuler plusieurs relations de Du Bois-Reymond et Godfrey Hardy qui n’étaient pas dénotées par le grand O, mais, sous notation différente, figurent dans les mathématiques de ces deux personnages. Cependant, même si les opérateurs relationnels de Hardy et Du Bois-Reymond ont « intuitively clear transitive properties » et ils échappent « the use of one-way equalities that bother some people », Knuth a prétendu que leur usage dans l’informatique est problématique parce que, en contraste de la notation O, ils compliquent l’écriture d’équations, puisqu’ils « require us to transpose everything but the function we are estimating to one side of the equation. » Malgré ce fait, Knuth a recommandé que les opérateurs de Hardy être utilisé de temps en temps, comme nécessaire. Encore, le chemin qu’il propose pour l’informatique est en effet seulement l’usage de l’omicron, l’oméga, et le thêta, correspondent à une comparaison avec une limite respectivement de zéro, d’infinité, et de deux limites non-zéros, non infinis, fixées. Ce plan de Knuth en est résulte surtout d'une perte du formalisme de Hardy et Du Bois-Reymond, comme si les informaticiens aujourd’hui ont grand besoin d’une définition nominale telle que la comparaison asymptotique employée aux contextes toutes pratiques.

Pour Du Bois-Reymond et Hardy, une relation telle que :

f(x) = Ο(g (x))

est indiquée par :

f(x) ≺ g(x)

pour signifier que le résultat de la fonction f(x) divisé par le résultat de la fonction g(x) se diminue vers une limite de zéro. L’opérateur qui correspond à f(x) = Ω(g (x)) est, en opposition, le ≻ dans lequel le résultat de f(x) divisé par g(x) s’agrandit vers infinité. La troisième notation instaurée par Knuth est thêta, Θ, où f(x) = Θ(g (x)) est équivalent à f(x) ≍ g(x), qui signifie que la valeur de f(x) divisé par g(x) reste entre deux limites non-zéros, non infinies, fixées. La recommandation de Knuth omet, cependant, la notation de Hardy pour deux fonctions avec une limite d’unité, c’est-à-dire 1, qui est ∼, et des autres opérateurs qui comparent deux fonctions selon l’inférieur ou supérieure de l’opérande droit avec une constante, c’est-à-dire, les opérateurs ≼ et ≽.

Que les mathématiciens utilisent la notation O de Landau plutôt que la notation de Du Bois-Reymond et Hardy démontre que, quand on considère la forme visuelle des opérateurs de Du Bois-Reymond et Hardy, comment elle réfère à l’infiniment petit du calcul et aux asymptotes, leur plus grande connexion au calcul historique est brisée. En effet, cette rupture crée la différence entre une mathématique d’applications et une mathématique pure. En addition, il crée une mathématique toute dépendante d’une science d’infinité qui pourra avoir développé différemment, surtout étant donné la dispute associée avec le calcul de Leibniz et Newton et le plus grand dessin de ces deux mathématiciens à travers un fond historique de la mathématique moderne.

Même si la contribution du calcul est comme technologie algébrique pour la spécification de la différence concrète d’objets de la nature, l’aperçu philosophique principal du calcul est qu’il y a une infinité des valeurs entre deux points de distance minute. Si on lit l’article de d’Alembert sur le calcul différentiel de l’Encyclopédie, on trouve que cette espace de l’infiniment petit était caractérisée par le mouvement d’une courbe vers une limite, ou la croissance de courbes dans un champ grillé qui est démarqué par des maxima et minima. Dans les oeuvres de Du Bois-Reymond, le processus par lequel une fonction devient dominante sur une autre est par le processus de différentiation entre d'autres. Alors, dans la même manière que des lacunes entre une limite et une courbe sont affranchies par la différentiation du calcul, alors les valeurs ultimes de fonctions qui se trouvent à cause de cette même différentiation peuvent être décrites en servant la notion des limites. Les valeurs de fonctions sont ultimes, mais en comparaison de deux fonctions, la division de leurs valeurs crée une relation à une limite, une relation asymptotique. Si f(x) est inférieur à g(x), la division de f(x) par g(x) en résultera d'une valeur de plus en plus petite, c’est-à-dire qu’elle converge à 0. Si f(x) est supérieure à g(x), la division de f(x) par g(x) en résultera d'une valeur de plus en plus grande, c’est-à-dire qu’elle converge à ∞, l’infinité. Alors, la logique du calcul ici devient un programme pour démontrer les meta-informations qui sont utilisées pour mesurer les parties de la mathématique tout en réflexion de l’entérprise industrielle d’avenir et qui faire allusion à pourquoi la comparaison asymptotique pourrait devenue entièrement transparente aux programmateurs de logiciel au XXe et XXIe siècle.

La comparaison asymptotique est utilisée par les programmateurs dans une trajectoire enlevée d’une mathématique pure et les plus grandes concernes philosophiques de la notion de l’infiniment petite et la notion d’une infinité relative dans laquelle l’agrandissement de fonctions se passe vers 0 et ∞ les deux. Mais en retournant aux conditions nécessaires philosophiques du calcul pour redécouvre les origines de la notation O, est-ce que ce domaine philosophique de la comparaison asymptotique, voire du calcul, est-il transparent ? Pourquoi sommes-nous allés de la mathématique de Lucrèce au calcul de Leibniz et puis nous sommes retournés à Lucrèce, si toutes les mathématiques ne réfèrent pas au même substrat phénoménal? C’est-il possible que tous processus de différenciation, le mouvement d’une courbe à une limite soit l’objet de quelconque technologie algébrique? Si le calcul fait un mécanique discret pour spécifier tout ce qui est continu, est le monde continu dépendent d’un artifice qui ne possède aucun vrai corollaire en Nature? Peut-être il est impossible de la concevoir différemment parce que notre langage, notre alphabet propre dépend d’une transformation des hiéroglyphes et des pictogrammes en une algèbre d’écriture et nos pensées ne peuvent pas être donc déconnecté d’une mathématique ou calcul.

Malheureusement, peut-être il n'y a aucun dehors du calcul dans la société contemporaine. La comparaison asymptotique se dépend du calcul, oui, mais les ordinateurs dépendent de lui. Alors, pourquoi ne pas servir cette comparaison asymptotique dans ses applications? Puisqu’à faire objection au calcul on doit abdiquer la technologie. Notre critique peut être focalisée sur le calcul comme outil de la domination et l’empire, mais c’est susceptible que nous aurions toujours codifié le mouvement vers une limite de quelque façon. Alors, à poser la question d’un dehors du calcul est peut-être naïve aussi bien que d’orchestrer une théorie du monde contemporain qui ne dépend pas de la mathématique de l’infinité. Nous ne pouvons pas monter une politique contre le calcul, ainsi que nous devons laisser toutes nos politiques et nos expériences quotidiennes loin du calcul pour bien créer la valeur qui pour un moment ne présume pas des conditions transparents de diminuer ou d’agrandissement. Toute valeur suit d’une trajectoire historique qui nécessite que nous restions, en occasion, en dehors du règne de calcul pour découvre le degré de notre dépendance.

(B) - 4 janvier 2016.